{"id":9711,"date":"2017-01-27T16:38:41","date_gmt":"2017-01-27T16:38:41","guid":{"rendered":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/?p=9711"},"modified":"2017-11-13T14:19:14","modified_gmt":"2017-11-13T12:19:14","slug":"2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9711\/","title":{"rendered":"2017: Leonardo, Fibonacci e numeri di Fermat\u2026 non \u00e8 poi cos\u00ec complicato!"},"content":{"rendered":"

Nel mio post precedente, ho lanciato a tutti i lettori un rompicapo matematico<\/a>. Permettetemi di ricordarvi di che si trattava:<\/p>\n

Usando +, -, x, \u00f7 e (), bisogna creare una sequenza che porti a 2017 usando i numeri che vanno dal 10 a 1.<\/p>\n

Questo era un compito abbastanza semplice, ma l\u2019abbiamo reso pi\u00f9 difficile.<\/p>\n

E se usassimo solo i numeri da 9 a 1 per arrivare a 2017? E da 7 a 1? E se restringessimo il campo solo a 1?<\/p>\n

Ancor prima di finire di pronunciare la parola \u201cmatematica\u201d, avevo gi\u00e0 risposto alle persone iscritte al nostro Fan Club<\/a>! Alcune di loro erano estremamente interessanti (tenete presente che ci sono diversi modi per arrivare alla stessa risposta), mentre altre proposte non erano cos\u00ec interessanti ed eleganti il che, beh\u2026 mi ha portato a condividere con voi solo alcune di loro\u2026<\/p>\n

\u2014 10 \u2014<\/strong><\/p>\n

Ecco qui le soluzioni pi\u00f9 eleganti:<\/p>\n

10 * 9 * 8 * 7 * 6 \/ 5 \/ (4 \u2013 3 + 2) + 1 = 2017
\n10 * 9 * 8 * (7 \u2013 6) \/ 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
\n(10 \u2013 9) + 8 * 7 * (6 \u2013 5) * 4 * 3 * (2+1) = 2017
\n(10 \u2013 9) + 8 * 7 * 6 * (5 \u2013 4) * 3 * 2 * 1 = 2017
\n(-10 + 9 + 8 + 7 * (6 + 5)) * 4 * 3 * 2 + 1 = 2017<\/p>\n

Se usiamo i numeri dieci, dovreste arrivare alla soluzione in un modo simile a questo, ma magari \u00e8 meno elegante (io ho pensato a questa, e ci sono arrivato in soli 10 minuti J ):<\/p>\n

((10 + (987) + (6 + 5) * (4 \u2013 3)) * 2) + 1 = 2017<\/p>\n

A.B., un collega la scrivania fa angolo con il mio ufficio nella nostra sede principale, \u00e8 riuscito persino ad arrivare alla soluzione usando i simboli delle divisioni ( \/ ). Ok, quindi, in questo modo, si trasformano numeri interi in frazioni, ma\u2026 perch\u00e9 no?<\/p>\n

10 * 9 * 8 * 7 \/ ((6 * 5) \/ 4) \u2013 3 \u2013 2) + 1 = 2017<\/p>\n

Qui altre sequenze matematiche eleganti:<\/p>\n

10 \u2013 (9 + 8 * (7 * (6 * (5 * (4 \u2013 (3 + 2)) \u2013 1)))) = 2017
\n(10 \u2013 9) + 8 * (7 * (6 * ((5 * (4 \u2013 3)) + 2 \u2013 1))) = 2017<\/p>\n

\u2014 9 \u2014<\/strong><\/p>\n

Ora, eliminiamo il \u201c10\u201d. \u00a0A prima vista potrebbe sembrare che questo renda il compito molto pi\u00f9 difficile. Comunque, si pu\u00f2 arrivare alla soluzione in pochi minuti. Date un\u2019occhiata qui:<\/p>\n

9 * 8 * 7 * 6 * (5 \u2013 4) \/ 3 * 2 + 1 = 2017
\n9 + 8 * ((7 * 6 * (5 \u2013 4) * 3 * 2) \u2013 1) = 2017
\n9 * 8 * 7 * (6 \u2013 5 + 4 \u2013 3) * 2 + 1 = 2017<\/p>\n

Anche A.B. \u00e8 riuscito a ottenere una variante, per cos\u00ec dire, \u201ctagliente\u201d:<\/p>\n

9 * 8 * 7 * 6 \/ (((5 + 4) \/ 3) \/ 2) + 1 = 2017<\/p>\n

Sempre sullo stesso genere, ecco un\u2019altra variante:<\/p>\n

9 * (8 \u2013 ((7 \u2013 6) * (5 \u2013 4))) * (32) + 1 = 2017<\/p>\n

\u2014 8 \u2014<\/strong><\/p>\n

Includendo i numeri dall\u20191 all\u20198, l\u2019operazione \u00e8 sorprendentemente pi\u00f9 facile rispetto ai due casi precedenti:<\/p>\n

8 * 7 * 6 * (5 \u2013 4) * 3 * 2 +1 = 2017
\n8 * 7 * (6 + 5 + 4 + 3) * 2 + 1 = 2017
\n8 * 7 * 6 * ( 5 + 4 \u2013 3) + (2 \u2013 1) = 2017
\n8 * (7 + 6 + 5) * ((4 * 3) + 2) + 1 = 2017<\/p>\n

Aritmetica traballante:<\/p>\n

(8 \u2013 7 + 6) * (5 + 4) * (32) + 1 = 2017<\/p>\n

\u2014 7 & 6 \u2014<\/strong><\/p>\n

Se usiamo solo i numeri dall\u20191 al 6 o dal\u20191 al 7, un fattoriale sarebbe necessario. Non potrei arrivare a 2017 senza di esso:
\n7 * (6 \u2013 5) * 4! * 3! * 2 + 1 = 2017
\n6! \/ 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017<\/p>\n

7 \u2013 6 \u2013 5! \u2013 4! + 3 * ((2+1)!)!
\n7 + (6! \u2013 5 * (4 + 3!)) * (2+1)
\n7 \u2013 (6 \u2013 5!) * 4! \u2013 (3!)! \u2013 (2+1)!
\n7! \u2013 6! \/ 5 \u2013 4 * (3!)! + 2-1
\n7! \u2013 (6 + 5!) * 4! + (3-2-1)!<\/p>\n

6! \u2013 5! \u2013 4! + (3!)! * 2 + 1
\n(6 + 5!) * 4! \/ 3 * 2 + 1
\n(6! \/ 5 + 4!) * 3! * 2 + 1<\/p>\n

Altre varianti?<\/p>\n

\u2014 5 \u2014<\/strong><\/p>\n

Soluzione traballante:<\/p>\n

\/5 * (4 + 3)! * 2 + 1<\/p>\n

Questa \u00e8 pi\u00f9 elegante ma ha bisogno di una radice quadrata:<\/p>\n

((( 5 \u2013 \u221a4 )! )!!!! ) !!!!! * ((3 * 2)!!!! ) + 1 = 2017.<\/p>\n

\u2014 4 \u2014<\/strong><\/p>\n

(Fino a che punto ti vuoi spingere?!)<\/p>\n

[(4#)!!!!]!!!!! * [(3 * 2)!!!!] + 1 = 2017<\/p>\n

Dove # \u00e8 un primoriale<\/a> e !!!! e !!!!! sono primi primoriali<\/a>.<\/p>\n

Bravo! Davvero ben fatto, complimenti! Non avevo mai visto quel genere di numeri prima! Non ce li insegnano, a dire il vero!<\/p>\n

Ecco qui un paio di soluzioni extra:<\/p>\n

((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017<\/p>\n

Dovrebbero funzionare cos\u00ec:<\/p>\n

4!=1*2*3*4=24
\n24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
\n3!=6
\n168*6*2+1=2016+1=2017<\/p>\n

Soluzione estremamente elegante.<\/p>\n

Eccone un\u2019altra dove sf(n) \u00e8 un superfattoriale<\/a>:<\/p>\n

sf(4) * (3! + !2) + 1 = 2017<\/p>\n

dove:<\/p>\n

sf(4)=1!*2!*3!*4!=288
\n3!=3*2*1=6
\n!2=1<\/p>\n

\u2014 3 \u2014<\/strong><\/p>\n

Ma non finisce qui la storia! Stiamo per ottenere 2017 con soli 3, 2 e 1, e basta. Se dico sul serio? Certo!<\/p>\n

Per farlo abbiamo bisogno di:<\/p>\n

L(n)- un numero di Leonardo<\/a>
\n!n \u2013 un subfattoriale<\/a>
\nn!! \u2013 un primo primoriale<\/p>\n

Mettiamoci all\u2019opera!<\/p>\n

1 + 2 = 3.
\nL(3) = 5.
\n5!! = 15.
\nL(15) = 1973.
\n!5 = 44.<\/p>\n

L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = 2017<\/p>\n

Veloce e facile \ud83d\ude09<\/p>\n

\u2014 2 \u2014<\/strong><\/p>\n

Solo 2 e 1, ebbene s\u00ec. Ma come possiamo arrivare al numero 2017 con soli 2 e 1? Stregoneria? \u20182 1 = 2017\u2019\u2026 Che tipo di magia nera matematica dobbiamo applicare?<\/p>\n

Per questo compito abbiamo bisogno:<\/p>\n

della successione di Fibonacci<\/a> F(n) e un\u00a0numero di Fermat<\/a> Fm(n)<\/p>\n

il che ci porta al compito precedente (3, 2, 1 -> 2017):<\/p>\n

F(2) = 1 (oppure possiamo usare un subfattoriale !2=1).
\nFm(1) = 3.<\/p>\n

2 1 => Fm(F(2)) Fm(1) => 3 3
\nL( (L(3)) !! ) + !( L(3) ) = \u2026 lo sapete, vero? \ud83d\ude42<\/p>\n

oppure<\/p>\n

L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017.<\/p>\n

Ma cari amici, una cosa non esiste fino a quando non viene creata! E quel tunnel ha iniziato a prender forma quando non ho iniziato a condividete questa idea con alcuni colleghi. Uno di loro ha risposto<\/a> con la trigonometria e lo spieghiamo qualche linea sotto.<\/p>\n

Pronti? Ancora non ci credete? Aprite bene gli occhi e preparatevi a sorprendervi perch\u00e9 \u00e8 possibile! Un WOW per Maxim Yurchuk che \u00e8 giunto a questa soluzione matematica.<\/p>\n

\u2014 1 \u2014<\/strong><\/p>\n

ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg \u2026 ctg arctg sin arcctg 1<\/em>\u00a0(ripetere la funzione\u00a0ctg arctg sin arcctg<\/em>\u00a02017^2 -1 volte)\u00a0= 2017<\/em>.<\/p>\n

E qui la prova:<\/p>\n

sin t = 1\/sqrt(1+ ctg^2(t))<\/em>,<\/p>\n

traduciamo le due funzioni di destra e otteniamo:
\nsin arcctg s = 1\/sqrt(1 + s^2)<\/em><\/p>\n

Usando\u00a0ctg arctg (s) = 1\/s,<\/em>\u00a0otteniamo:
\nctg arctg sin arcctg s = sqrt(1 + s^2)<\/em><\/p>\n

Usando la stessa logica, possiamo essere sicuri che queste quattro funzioni, doppie, ci portano a:
\nctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg s = sqrt(2 + s^2)<\/em><\/p>\n

Usando il principio di induzione matematica, possiamo provare:
\nctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + s^2)<\/em>
\ndove\u00a0ctg arctg sin arcctg<\/em>\u00a0ripetuto n volte.<\/p>\n

Poi sostituiamo\u00a0s<\/em>\u00a0con 1 e otteniamo:
\nctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + 1^2)<\/em>
\ndove\u00a0ctg arctg sin arcctg<\/em>\u00a0si ripete\u00a0n<\/em>\u00a0volte.<\/p>\n

Ripetete queste quattro funzioni 2017^2-1 volte (per esempio,\u00a0n = 2017^2-1<\/em>), e questo ci porta a:
\nsqrt(2017^2-1 + 1^2) = sqrt(2017^2) = 2017<\/em>.<\/p>\n

Bingo!<\/p>\n

Altre prove (pi\u00f9 \u2018illustrative\u2019):<\/p>\n

Ora mostriamo\u00a0ctg arctg sin arcctg Vn = V(n+1)<\/em>.<\/p>\n

La foto qui sotto ci aiuta a fare luce sul problema: la cotangente dell\u2019angolo AOB<\/em>\u00a0\u00e8 uguale a Vn, cio\u00e8\u00a0OB \/ AB = V(1-x^2) \/ x = Vn<\/em>. Pertanto, abbiamo bisogno di calcolare la cotangente dell\u2019angolo COD<\/em> considerando che\u00a0AB = CD = x<\/em>. Questa cotangente \u00e8 uguale a\u00a0OD\/CD = 1\/x<\/em>. Questo ci porta a\u00a01\/x = V(n+1)<\/em>\u00a0perch\u00e9\u00a0(1 \u2013 x^2) \/ x^2 = n<\/em>.<\/p>\n

<\/p>\n

\u2014 0 \u2014<\/strong><\/p>\n

Ciliegina sulla torta, da zero a 2017. Questa volta \u00e8 facile:<\/p>\n

cos(0)=1<\/p>\n

Poi ritorniamo al punto precedente.<\/p>\n

\u2014 Bonus Track \u2014<\/strong><\/p>\n

Cerchiamo di portar avanti i calcoli in qualche modo.<\/p>\n

Che ne dite di ottenere 2017 da i<\/a> <\/u><\/em>l\u2019unit\u00e0 immaginaria (non dimenticatevi di cliccare sul link dato che si tratta di una i<\/em> molto interessante)? E perch\u00e9 non trasformare 2017 in una Costante di Planck<\/a>? O la massa di un elettrone, in unit\u00e0 atomiche? Oppure in percentuale (%) dell\u2019IVA sulle operazioni di export\u2026 in breve, l\u2019oceano delle possibilit\u00e0 della matematica nella sfera fisica, sociale ed economica \u00e8 assolutamente illimitato. Fatevi avanti, provateci!<\/p>\n

C\u2019\u00e8 ancora tempo prima della fine dell\u2019anno, che \u00e8 quando dovremmo rifare i calcoli per il 2018 \ud83d\ude09<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Volete conoscere le soluzioni al rompicapo matematico? Non perdetevi questo post di Eugene Kaspersky<\/p>\n","protected":false},"author":13,"featured_media":9713,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2642],"tags":[2315,2316],"class_list":{"0":"post-9711","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-special-projects","8":"tag-matematica","9":"tag-rompicapo-matematico"},"hreflang":[{"hreflang":"it","url":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9711\/"},{"hreflang":"es-mx","url":"https:\/\/latam.kaspersky.com\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/8861\/"},{"hreflang":"es","url":"https:\/\/www.kaspersky.es\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9966\/"},{"hreflang":"de","url":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9666\/"}],"acf":[],"banners":"","maintag":{"url":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/tag\/matematica\/","name":"matematica"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9711","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/13"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9711"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9711\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10607,"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9711\/revisions\/10607"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/9713"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9711"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=9711"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=9711"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}